Question

（本小題滿分13分）等差數列{a_n}中，公差d≠0，已知數列是等比數列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25.
（1）求數列{k_n}的通項；
（2）若a₁=9，設b_n= +，S_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+ b_n²， T_n= + + +…+，試判斷數列{S_n+T_n}前100項中有多少項是能被4整除的整數。

Answer 1

（1） （2）前項中有100項是能被4整除的整數

（1）利用等差和等比數列的性質得出關于k_n的式子，進一步求出通項；（2）先求出b_n，進一步求出的通項公式，再利用二項式知識解決整除問題
解：（1）由得到：，所以：，
因為公差，得：，即，
所以等比數列的公比是，……………………4分
得到：，即.…………………………………………6分
（2），所以：，…………………7分
則：-2=，
所以：=………………………………………9分
當為偶數時：，能被4整除，也能被4整除，
所以能被4整除.………………………………………………………………11分
當為奇數時，，
能被4整除，也能被4整除，
所以能被4整除.………………………………………………………………12分
所以數列前項中有100項是能被4整除的整數.…………………13分