Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）•e^x，其中a∈R．
（1）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增？若存在，求出的a值或取值范圍；否則，請說明理由．
（2）若a＜0，且函數(shù)y=f（x）的極小值為-

3

2

e，求函數(shù)的極大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）≥0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]≥0．從而得到△=（a+2）²-4（-2a²+4a）≤0，即（3a-2）²≤0，即a=

2

3

，此時，f′（x）=（x+

4

3

）²e^x≥0，函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增．
（2）由f′（x）=0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]=0，解之得x₁=-2a，x₂=a-2．當(dāng)a＜0時，由條件可知，f（-2a）=-

3

2

e，即3a•e^-2a=-

3

2

e，可得a=-

1

2

．從而求出極大值．

解答： 解 （1）∵f（x）=（x²+ax-2a²+3a）•e^x，
∴f′（x）=e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]．
由f′（x）≥0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]≥0．
即x²+（a+2）x-2a²+4a≥0在x∈R時恒成立．
∴△=（a+2）²-4（-2a²+4a）≤0，
即（3a-2）²≤0，即a=

2

3

，此時，
f′（x）=（x+

4

3

）²e^x≥0，
函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增．
（2）由f′（x）=0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]=0，
解之得x₁=-2a，x₂=a-2．
當(dāng)a＜0時，-2a＞a-2，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由條件可知，f（-2a）=-

3

2

e，即3a•e^-2a=-

3

2

e，
∴

3a=- 3 2 -2a=1

，可得a=-

1

2

．
此時，f（x）=（x²-

1

2

x-2）e^x，
極大值為f（a-2）=f（-

5

2

）=

11

2

e-

5

2

．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，屬于中檔題．