Question

【題目】函數在R上為偶函數且在單調遞減，若時，不等式恒成立，則實數m的取值范圍為( )

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化，利用參數分離法，結合函數的最值，利用導數求得相應的最大值和最小值，從而求得m的范圍．

∵函數f（x）為偶函數，

若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）對x∈[1，3]恒成立，

等價為f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（2mx﹣lnx﹣3）

即2f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）對x∈[1，3]恒成立．

即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）對x∈[1，3]恒成立．

∵f（x）在[0，+∞）單調遞減，

∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3對x∈[1，3]恒成立，

即0≤2mx﹣lnx≤6對x∈[1，3]恒成立，

即2m且2m對x∈[1，3]恒成立．

令g（x），則g′（x），在[1，e]上遞增，在[e，3]上遞減，則g（x）的最大值為g（e），

h（x），則h′（x）0，則函數h（x）在[1，3]上遞減，則h（x）的最小值為h（3），

則，得，即m，

故選：B．