Question

橢圓G：的兩個焦點F₁（－c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上的一點，且滿足

  （Ⅰ）求離心率e的取值范圍；

 （Ⅱ）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為求此時橢圓G的方程；（ⅱ）設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由

Answer 1

（1）；（2）(i)所求橢圓方程為，（ⅱ）當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。

解析:

（I）設M（x₀，y₀）

                 ①

又  ②

由②得代入①式整理得

又

解得

（Ⅱ）（i）當

設H（x，y）為橢圓上一點，則

若0

由（舍去）

若b≥3，當y=－3時，|HN|²有最大值2b²+18

由2b²+18=50得b²=16

∴所求橢圓方程為

（ii）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則由

             ③

又直線PQ⊥直線l    ∴直線PQ方程為

將點Q（x₀，y₀）代入上式得，    ④

由③④得Q

（解1）而Q點必在橢圓內部   

由此得

故當時A、B兩點關于點P、Q的直線對稱

（解2）∴AB所在直線方程為

由得

顯然1+2k²≠0

而

   

直線l與橢圓有兩不同的交點A、B  ∴△＞0

解得

故當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。

（ii）另解；設直線l的方程為y=kx+b

由得

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則

      ③

又直線PQ⊥直線l    ∴直線PQ方程為

將點Q（x₀，y₀）代入上式得，    ④

將③代入④⑤

∵x₁，x₂是（*）的兩根

⑥

⑤代入⑥得

∴當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。