Question

【題目】某客戶準備在家中安裝一套凈水系統，該系統為三級過濾，使用壽命為十年.如圖所示，兩個一級過濾器采用并聯安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯安裝。

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現。在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立），三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元。現需決策安裝凈水系統的同時購濾芯的數量，為此參考了根據套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中圖是根據個一級過濾器更換的濾芯個數制成的柱狀圖，表是根據個二級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表.

二級濾芯更換頻數分布表

二級濾芯更換的個數
頻數

以個一級過濾器更換濾芯的頻率代替個一級過濾器更換濾芯發生的概率，以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發生的概率.

（1）求一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統在使用期內需要更換的一級濾芯總數，求的分布列及數學期望；

（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）=23，=5.

【解析】

（1）根據圖表，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為，則一級個濾芯，二級個濾芯，分別算出相應的概率，一次更換為2個一級濾芯和1個二級濾芯，從而得到概率.

（2）由柱狀圖，一級過濾器需要更換的濾芯個數，分別得到概率，然后得到可能取的值，算出每種情況的概率，寫出分布列及數學期望.

（3）因為且，則可分為兩類，即和，分別計算他們的數學期望，然后進行比較，選取較小的一組.

（1）由題意可知，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為，則該套凈水系統中的兩個一級過濾器均需更換個濾芯，二級過濾器需要更換個濾芯。設“一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為”為事件.

因為一個一級過濾器需要更換個濾芯的概率為，二級過濾器需要更換個濾芯的概率為，

所以.

（2）由柱狀圖可知，

一個一級過濾器需要更換的濾芯個數為，，的概率分別為，，.

由題意，可能的取值為，，，，，并且

，

，

，

，

.

所以的分布列為

.

（3）【解法一】

因為，，若，，

則該客戶在十年使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為；

若，，

則該客戶在十年使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為

.

故，的值分別為，.

【解法二】

因為，，若，，

設該客戶在十年使用期內購買一級濾芯所需總費用為（單位：元），則

.

設該客戶在十年使用期內購買二級濾芯所需總費用為（單位：元），則

，.

所以該客戶在十年使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為

.

若，，

設該客戶在十年使用期內購買一級濾芯所需總費用為（單位：元），則

.

設該客戶在十年使用期內購買二級濾芯所需總費用為（單位：元），則

.

所以該客戶在十年使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為

.

故，的值分別為，.