Question

【題目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構成.如圖，在正六棱柱的三個頂點處分別用平面，平面，平面截掉三個相等的三棱錐，，，平面，平面，平面交于點，就形成了蜂巢的結構，如下圖（4）所示，

瑞士數學家克尼格利用微積分的方法證明了蜂巢的這種結構是在相同容積下所用材料最省的，英國數學家麥克勞林通過計算得到菱形的一個內角為，即.以下三個結論①；② ；③四點共面，正確命題的個數為______個；若，，，則此蜂巢的表面積為_______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

根據正六棱柱底面正六邊形的性質可判斷出邊之間的大小關系及平行關系；根據已知條件求出表面各邊的長度，蜂巢的表面積即由6個梯形和3個菱形組成，分別求出梯形和菱形的面積代入即可.

由題可得：，

六邊形是正六邊形，

所以，即有，

所以①錯誤；

用平面，平面，平面截掉

三個相等的三棱錐，，，

所以平面與底面平行，

所以有：、、,

在正六邊形中，

所以；②正確；

因為，

所以，即四點共面，③正確；

因此正確個數有2個；

連接，，如圖：

由題意可得：且，

因為，，

所以，

即有，

四邊形為菱形，

所以在中可求出，

，

所以，

，

所以蜂巢的表面積為

故答案為：