Question

如圖，正三棱錐ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側棱長為

2

a，M是A₁B₁的中點．
（I）求證：

MC1

是平面ABB₁A₁的一個法向量；
（II）求AC₁與側面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

分析：（I）以點A為坐標原點，平面ABC為xoy平面，

AB

方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明

MC1

是平面ABB₁A₁的一個法向量；
（II）由

AC1

=(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)，

MC1

•

AC1

=(0，

3

2

a，0)•(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)=

3

4

a2，|

MC1

|=

3

2

a，|

AC1

|=

3

a，能夠求出AC₁與側面ABB₁A₁所成的角．

解答：解：（I）如圖，以點A為坐標原點，平面ABC為xoy平面，

AB

方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（a，0，0），B1(a，0，

2

a)，
M（

a

2

，0，

2

a)，C1(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)
所以

AB

=（a，0，0），

BB1

=(0，0，

2

a)，

MC1

=(0，

3

2

a，0)．…（5分）
因為

MC1

•

AB

=0，

MC1

•

BB1

=0，
所以MC₁⊥AB，MC₁⊥BB₁，
從而MC₁⊥平面ABB₁A₁．
故

MC1

是平面ABB₁A₁的一個法向量．…（9分）
（II）

AC1

=(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)．
因為

MC1

•

AC1

=(0，

3

2

a，0)•(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)=

3

4

a2，
又因為|

MC1

|=

3

2

a，|

AC1

|=

3

a，
所以cos＜

MC1

，

AC1

＞=

1

2

，即＜

MC1

，

AC1

＞=60°．…（13分）
故AC₁與側面ABB₁A₁所成的角為30°．…（14分）

點評：本題考查平面的法向量的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．