Question

如圖，正三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中點，點P在平面BCC₁B₁內，PB₁=PC₁=．
（I）求證：PA₁⊥B₁C₁；
（II）求證：PB₁∥平面AC₁D；
（III）求多面體PA₁B₁DAC₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證PA₁⊥B₁C₁，可以B₁C₁⊥平面A₁PQ，只需要證明B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ，取B₁C₁的中點Q，連A₁Q，PQ，即可證得；
（II）要證PB₁∥平面AC₁D，利用線面平行的判定，只需證明PB₁平行于平面AC₁D中的直線，連接BQ，可以證明四邊形BB₁PQ為平行四邊形，從而得證；
（III）先求三棱錐P-A₁B₁C₁的體積，再求多面體ABD-A₁B₁C₁的體積，相加即得多面體PA₁B₁DAC₁的體積．
解答：證明：（I）取B₁C₁的中點Q，連A₁Q，PQ
∵PB₁=PC₁，A₁B₁=A₁C₁，
∴B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ
∵A₁Q∩PQ=Q
∴B₁C₁⊥平面A₁PQ，∵PA₁?平面A₁PQ
∴PA₁⊥B₁C₁；
（II）連BQ，在△PB₁C₁中，PB₁=PC₁=，B₁C₁=2，Q為中點，∴PQ=1
∵BB₁=AA₁=1
∴BB₁=PQ
在平面PBB₁CC₁中，BB₁⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁
∴BB₁∥PQ
∴四邊形BB₁PQ為平行四邊形
∴PB₁∥BQ
∵BQ∥DC₁
∴PB₁∥DC₁
∴PB₁∥平面AC₁D；
（III）三棱錐P-A₁B₁C₁的體積為
多面體ABD-A₁B₁C₁的體積為．
∴多面體PA₁B₁DAC₁的體積為．
點評：本題以多面體為載體，考查線線，線面位置關系，考查多面體的體積，解題的關鍵是合理運用線線，線面平行與垂直的判定與性質定理．