Question

（2012•豐臺區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點M（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設斜率為1的直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，連接MA，MB并延長交直線x=4于P，Q兩點，設y_P，y_Q分別為點P，Q的縱坐標，且

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

．求△ABM的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點M（-2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用 

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，及韋達定理，即可求解△ABM的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點M（-2，0）．
∴a=2，

c

a

=

2

2

，∴c=

2

．                        …（2分）
∵a²=b²+c²，∴b=

2

．                            …（3分）
橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．                                      …（5分）
（Ⅱ）因為直線l的斜率為1，可設l：y=x+m，…（6分）
則

x2+2y2=4 y=x+m

，消y得3x²+4mx+2m²-4=0，…（7分）
由△＞0，得m²＜6．
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-4

3

．                        …（8分）
設直線MA：y=

y1

x1+2

(x+2)，則yP=

6y1

x1+2

；同理yQ=

6y2

x2+2

．…（9分）
因為 

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，所以 

6

6y1

+

6

6y2

=

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

，即

x1-4

6y1

+

x2-4

6y2

=0．     …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（x₂+m）+（x₂-4）（x₁+m）=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）-4（x₁+x₂）-8m=0，
所以2•

2m2-4

3

+m(-

4m

3

)-4(-

4m

3

)-8m=0，
所以 

-8-8m

3

=0，所以 m=-1∈(-

6

，

6

)．              …（12分）
所以 x1+x2=

4

3

，x1x2=-

2

3

．
設△ABM的面積為S，直線l與x軸交點記為N，
所以S=

1

2

•|MN|•|y1-y2|=

3

2

•|x1-x2|=

3

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

10

．…（13分）
所以△ABM的面積為

10

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關鍵．