Question

用總長(zhǎng)為14.8米的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制的容器的底面的長(zhǎng)比寬多0.5米，那么高為多少時(shí)容器的容器最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

容器高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8m³.

試題分析：令容器底面寬為m,則長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m，由實(shí)際意義可得0<x<1.6，由長(zhǎng)方體體積寫出容積的表達(dá)式,求導(dǎo)得，進(jìn)而求得0<x<1時(shí)，；1<x<1.6時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)有最大值，求之得最大容積．
解：設(shè)容器底面寬為x m，則長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m，
由解得0<x<1.6，                                 3分
設(shè)容器的容積為y，
則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝                6分
,
令＝0，即,
解得x＝1，或x＝ (舍去)．                              8分
∵0<x<1時(shí)，；1<x<1.6時(shí)，，
∴在定義域(0,1.6)內(nèi)x＝1是唯一的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為1.8，                             10分
此時(shí)容器的高為3.2－2＝1.2m，
因此，容器高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8．      12分