Question

已知二次函數（R）．

（1）解不等式；

（2）函數在上有零點，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）時，解集為R；或時，解集為；或時，解集為；（2）。

【解析】

試題分析：（1）這是一道含參數一元二次不等式問題，因為判別式含有參數，需要對進行分類討論；

（2）思路一：函數在上有零點，即函數圖像在區間上與軸有交點，然后就交點的個數分類討論。思路二：函數在上有零點，即方程

有根，可化為，然后對進行討論，不為零時，可化為，然后構造函數，轉化為求該函數在上的最值問題。

試題解析：（1）方程的判別式，

當時，，不等式的解集為R；

當或時，，不等式的解集為；

當或時，，

不等式的解集為． 6分

（2）法1：當時，在上有一個零點0；

當時，在上有一個零點-1；

當時，考慮到，對稱軸，則有，得，

所以；

時，考慮到，對稱軸，則有，得，

所以．

綜上，的取值范圍為． 16分

法2：由，得①，

對于，，則，，變為②

若，則②不成立，故可得，．

令，則．

當時，，單調遞減；當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．所以的值域為．

的取值范圍為． 16分

考點：（1）含參數一元二次不等式的解法；（2）一元二次方程根的分布問題；（3）構造函數及分類討論思想的應用。