Question

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P（k，-2）與點(diǎn)F的距離為4，則拋物線方程為

x²=-8y

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)F在y軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（k，-2），設(shè)其方程為x²=-2py（p＞0）．結(jié)合題意建立關(guān)于k、p的方程組，解之可得k、p的值，從而得該到拋物線方程．

解答：解：∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)P（k，-2）在拋物線上
∴拋物線開(kāi)口向下，設(shè)方程為x²=-2py（p＞0）
可得拋物線的焦點(diǎn)F（0，-

p

2

），
∵拋物線上的點(diǎn)P（k，-2）與點(diǎn)F的距離為4，
∴得方程組

k2=-2p•(-2) (0-k)2+(- p 2 +2)2 =4

，解之得p=k=4，
因此拋物線方程為x²=-8y
故答案為：x²=-8y

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，求拋物線的方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．