Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．
（1）判斷函數f（x）=x²-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函數，請寫出詳細判斷過程；
（2）試證明：設M＞0，N＞0，若f（x），g（x）在D上分別以M，N為上界．求證：函數f（x）+g（x）在D上以M+N為上界；
（3）若f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x在[0．+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1先判斷函數在[0，2]上的單調性，從而可得函數的值域，即可得到結論；
（2）利用f（x），g（x）在D上分別以M，N為上界，可得-M≤f（x）≤M，-N≤g（x）≤N，從而可得函數f（x）+g（x）在D上以M+N為上界；
（3）利用定義可得-3≤1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x≤3在[0．+∞）上恒成立，換元，再分離參數求最值，即可得到結論．

解答：（1）解：∵f（x）=x²-2x+2在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增
∴當x∈[0，2]時，1≤f（x）≤2
∴當x∈[0，2]時，|f（x）|≤2
∴函數f（x）=x²-2x+2，x∈[0，2]是有界函數…（4分）
（2）證明：∵f（x），g（x）在D上分別以M，N為上界，∴-M≤f（x）≤M，∴-N≤g（x）≤N
∴-（M+N）≤f（x）+g（x）≤M+N，即|f（x）+g（x）|≤M+N
∴函數f（x）+g（x）在D上以M+N為上界；…（8分）
（3）解：∵f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x在[0．+∞）上是以3為上界的有界函數
∴-3≤1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x≤3在[0．+∞）上恒成立，
記(

1

2

)x=t，t∈(0，1]，∴-3≤1+a•t+t²≤3在t∈（0，1]時恒成立．
∴

a≤ 2 t -t a≥-(t+ 4 t )

在t∈（0，1]時恒成立．
函數y=

2

t

-t在（0，1]上單調遞減，
∴a≤1；y=-(t+

4

t

)在t∈（0，1]上單調遞增，∴a≥-5．
∴實數a的取值范圍是-5≤a≤1…（13分）

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．