Question

已知關于x的二次函數f（x）=x²+（2t-1）x+1-2t，
（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實數根；
（2）若

1

2

＜t＜

3

4

，求證：方程f（x）=0在區間(-1，  0)及(0，  

1

2

)上各有一個實數根．

Answer 1

分析：（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實數根；只需找出一個實根即可，也可以用判別式來解．
（2）計算x=-1、0、

1

2

時的函數值即可證明要求證的問題．

解答：解：（1）由f（1）=1知f（x）=1必有實數根，
或由△=（2t-1）²+8t=（2t+1）²≥0得f（x）=1必有實數根；
（2）當

1

2

＜t＜

3

4

時，
因為f(-1)=3-4t=4(

3

4

-t)＞0，
f(0)=1-2t=2(

1

2

-t)＜0，
f(

1

2

)=

1

4

+

1

2

(2t-1)+1-2t=

3

4

-t＞0，
所以方程f（x）=0在區間(-1，0)及(0，

1

2

)上各有一個實數根．

點評：本題考查根的存在性及根的個數問題，是基礎題．