Question

已知關于x的二次函數f（x）=x²+ax-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當b=-2時，由于對任意的x∈R，函數f（x）的值總大于零，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果方程f（x）=0有一個負根和一個不大于1的正根，求實數a，b滿足的條件，并在右圖所給坐標系中畫出點（a，b）所在的平面區域；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，若實數k滿足b=k（a+1）+3，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當b=-2時，f（x）=x²+ax+2，由于對任意的x∈R，函數f（x）的值總大于零，從而其判別式小于0，故可求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）利用方程f（x）=0有一個負根和一個不大于1的正根，可得

f(0)＜0 f(1)≥0

，從而可表示相應區域．
（Ⅲ）依題意，a≠-1，則k=

b-3

a+1

表示區域內的動點（a，b）與（-1，3）連線的斜率，故可求．

解答：解：（Ⅰ）當b=-2時，f（x）=x²+ax+2，由于對任意的x∈R，函數f（x）的值總大于零，
∴△=a²-8＜0，
∴-2

2

＜a＜2

2

（Ⅱ）∵方程f（x）=0有一個負根和一個不大于1的正根，
∴

f(0)＜0 f(1)≥0

，
∴

b＞0 1+a-b≥0

（Ⅲ）依題意，a≠-1，則k=

b-3

a+1

表示區域內的動點（a，b）與（-1，3）連線的斜率，則k＜1．

點評：本題主要考查方程根的討論問題及平面區域的確定，同時考查利用線性規劃知識解決有關取值問題．