Question

【題目】設函數， ， .

（1）討論的單調性；

（2）當時，函數的圖像上存在點在函數的圖像的下方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①當時， 在在上單調遞增， 上單調遞減；②當時， 在， 上單調遞增；在上單調遞減；③當時， 在上單調遞增；④當時， 在， 上單調遞增，在上單調遞減；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數求導，對進行分類討論，結合導數的正負即可確定函數的單調性；（2）由函數的圖像上存在點在函數的圖像的下方，可推出，使得成立，即， 有解，設，求出函數的單調性與最小值，從而可得的取值范圍.

試題解析：(1) ，

①當時， 在在上單調遞增， 上單調遞減；

②當時， 在， 上單調遞增；在上單調遞減；

③當時， 在上單調遞增；

④當時， 在， 上單調遞增，在上單調遞減;

(2)∵函數的圖像上存在點在函數的圖像的下方，可知，使得成立， ，即， 有解， 設， ，

令，則當時， ，所以在上遞增，

，

存在唯一的零點，且當時， ，

當時， ，則當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增，

故，

由,可得， ，

，

，即實數的取值范圍是.