Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）且滿足a≤

3

b，若離心率為e，則e²+

1

e2

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據e=

c

a

，c=

a2-b2

對e²+

1

e2

進行整理得2+

b2

a2

•

b2

a2-b2

，再根據a≤

3

b進而求得e²+

1

e2

的范圍，求得最小值．

解答：解：∵a≤

3

b，
e²+

1

e2

=

c2

a2

+

a2

c2

=

a2-b2

a2

+

a2

a2-b2

=2+

b2

a2

•

b2

a2-b2

∵a≤

3

b，，∴a²≤3b²，
∴

b2

a2

≥

1

3

，且

b2

a2-b2

≥

b2

3b2-b2

=

1

2

∴

b2

a2

•

b2

a2-b2

≥

1

3

×

1

2

=

1

6

∴e²+

1

e2

≥

13

6

故答案為：

13

6

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．屬基礎題．