Question

一質點運動的方程為s=8-3t²．
（1）求質點在[1，1+△t]這段時間內的平均速度；
（2）求質點在t=1時的瞬時速度（用定義及求導兩種方法）．

Answer 1

分析：本題考查的是變化率及變化快滿問題．在解答時：
（1）首先結合條件求的△s，然后利用平均速度為

△s

△t

進行計算即可獲得問題的解答；
（2）定義法：即對平均速度為

△s

△t

當△t趨向于0時求極限即可獲得解答；求導法：t=1時的瞬時速度即s=8-3t²在t=1處的導數值，故只需求t=1時函數s=8-3t²的導函數值即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意可知：
（1）∵s=8-3t²
∴△s=8-3（1+△t）²-（8-3×1²）=-6△t-3（△t）²，
∴質點在[1，1+△t]這段時間內的平均速度為：

.

v

=

△s

△t

=-6-3△t．

（2）定義法：質點在t=1時的瞬時速度為v=

lim

△t→0

△s

△t

=

lim

△t→0

(-6-3△t)=-6．
求導法：質點在t時刻的瞬時速度v=s'（t）=（8-3t²）'=6t，
∴當t=1時，v=-6×1=-6．

點評：導數的物理意義建立了導數與物體運動的瞬時速度之間的關系．對位移s與時間t的關系式求導可得瞬時速度與時間t的關系．根據導數的定義求導數是求導數的基本方法，誚按照“一差、二比、三極限”的求導步驟來求．值得同學們體會和反思．