Question

離心率為

4

5

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上有一點M到橢圓兩焦點的距離和為10．以橢圓C的右焦點F（c，0）為圓心，短軸長為直徑的圓有切線PT（T為切點），且點P滿足|PT|=|PB|（B為橢圓C的上頂點）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求點P所在的直線方程l．

Answer 1

分析：（I）根據點M到橢圓兩焦點的距離和可求得a，再根據離心率的值求得c，最后根據b=

a2-c2

求得b，答案可得．
（II）設點P（x，y），由（I）中的橢圓方程可求得焦點F，進而可得以圓F的方程．根據點P所在的直線是圓F和圓O的根軸，進而可得x和y的關系，即點P所在的直線方程．

解答：解：（I）依題意有：

a2+b2=c2     4 5 = c a       2a=10

解得：

a=5     b=3     c=4

所以橢圓方程為：

x2

25

+

y2

9

=1．
（II）設點P（x，y）．由（I）得F（4，0），
所以圓F的方程為：（x-4）²+y²=9．
把B（0，3）點當作圓B：x²+（y-3）²=0，
點P所在的直線是圓B和圓O的根軸，
所以（x-4）²+y²-[x²+（y-3）²]=9，即4x-3y-1=0．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質和橢圓與圓的綜合運用．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．
1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；
2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； 3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；
4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行．