Question

離心率為

4

5

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一點M到橢圓兩焦點的距離和為10．以橢圓C的右焦點F（c，0）為圓心，短軸長為直徑的圓有切線PT（T為切點），且點P滿足|PT|=|PB|（B為橢圓C的上頂點）．
（I）求橢圓的方程；
（II）求點P所在的直線方程l．

Answer 1

（I）依題意有：

a2+b2=c2     4 5 = c a       2a=10

解得：

a=5     b=3     c=4

所以橢圓方程為：

x2

25

+

y2

9

=1．
（II）設點P（x，y）．由（I）得F（4，0），
所以圓F的方程為：（x-4）²+y²=9．
把B（0，3）點當作圓B：x²+（y-3）²=0，
點P所在的直線是圓B和圓O的根軸，
所以（x-4）²+y²-[x²+（y-3）²]=9，即4x-3y-1=0．