Question

（1）解不等式|x²-9|≤x+3．
（2）設x，y，z∈R⁺且x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考點：絕對值三角不等式,基本不等式在最值問題中的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由不等式可得

x+3≥0 -x-3≤x2-9≤x+3

，由此求得不等式的解集．
（2）利用題中條件：“x+5y+3z=1”構造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²這個條件進行計算即可．

解答： 解：（1）由不等式|x²-9|≤x+3，可得

x+3≥0 -x-3≤x2-9≤x+3

，
求得 2≤x≤4，或x=-3，故不等式的解集為{x|2≤x≤4，或x=-3}．
（2）∵x，y，z∈R⁺且x+2y+3z=1，∴14=1+4+9，
∴14×（x²+y²+z²）=（x²+y²+z²）×（1+4+9 ）≥（x+2y+3z）²=1
可得：x²+y²+z²≥

1

14

，當且僅當x=

y

2

=

z

3

=

1

14

時，等號成立，
即x²+y²+z²的最小值為

1

14

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，用綜合法證明不等式，關鍵是利用：（x²+y²+z²）×（1+4+9 ）≥（x+2y+3z）²，屬于基礎題．