Question

（本題滿分15分）已知拋物線：（），焦點為，直線交拋物線于、兩點，是線段的中點，
過作軸的垂線交拋物線于點，
（1）若拋物線上有一點到焦點的距離為，求此時的值；
（2）是否存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線的焦點，---------------------------------------------------2分
，得。----------------------------------6分
（或利用得
，或（舍去））
（2）聯立方程，消去得，設，
則（），-----------------------------------------------------------------------8分
是線段的中點，，即，
，-------------------------------------------------------------10分
得，
若存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形，則，-----11分
即，結合（）化簡得，
即，或（舍去），
存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形。-------------------15分

解析