Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分別在線段B1C1和AC上，B1E=3EC1 ， AC=BC=CC1=4
（1）求證：BC⊥AC1；
（2）試探究滿足EF∥平面A1ABB1的點F的位置，并給出證明．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面AA1C1C，
∴BC⊥AC1 ．
（2）解法一：當AF=3FC時，EF∥平面AA1B1B．
證明如下：在平A1B1C1內過E作EG∥A1C1交A1B1于G，連接AG．
∵B1E=3EC1 ， ∴，
又AF∥A1C1且
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥GA，
又∵EF面AA1B1B，AG平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B．
解法二：當AF=3FC時，FE∥平面A1ABB1 ．
證明：在平面ABC內過E作EG∥BB1交BC于G，連接FG．
∵EG∥BB1 ， EGA1ABB1 ， BB1平面A1ABB1 ，
∴EG∥平面A1ABB1 ．
∵B1E=3EC1 ， ∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB平面A1ABB1 ， FG平面A1ABB1 ．
∴FG∥平面A1ABB1 ．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A1ABB1 ．
∴EF∥平面A1ABB1 ．

【解析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；
（2）證法一：利用線面平行的判定定理即可證明；證法二：利用面面平行的判定定理．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的性質的相關知識，掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．