Question

已知異面直線a，b所成角為θ，過空間一定點P且與a，b所成角均為

π

3

的直線有4條，則θ的取值范圍為（　　）

• A．(0，

  π

  3

  )
• B．(

  π

  6

  ，

  π

  3

  )
• C．(

  π

  3

  ，

  π

  2

  )
• D．(

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：把異面直線AC，BD平移到O，作SO⊥平面ABCD，畫出圖形，通過特殊值θ=60°，說明滿足題意的直線的情況，即可解出θ的范圍．

解答：解：把異面直線AC，BD平移到O，作SO⊥平面ABCD，
異面直線a，b成角為θ，為∠BOC=θ．滿足題意的直線有4條，
所以必須在區(qū)域SOAB，SOBC，SOCD，SOAD內(nèi)各有一條直線與AC，BD成60°角．
當θ=60°時，在區(qū)域SOAB這樣的直線只能在平面ABCD，此時只有3條，不滿足題意，
所以θ＞60°，因為異面直線所成的角θ≤90°，
所以滿足題意的角θ∈（60°，90°]，即θ∈(

π

3

，

π

2

]．
故選D．

點評：本題是中檔題，考查異面直線所成角的判斷方法，考查空間想象能力，作圖能力．