Question

已知異面直線a，b所成的角為70°，則過空間任意一點M可作與a，b所成的角都是55°的直線有多少條（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

Answer 1

分析：在空間取一點M，經過點M分別作a∥a'，b∥b'，設直線a'、b'確定平面α．由異面直線所成角的定義，得a'、b'所成銳角等于70°，經過M的直線MP的射影MQ在a'、b'所成銳角的平分線上時，存在兩條直線與a'，b'所成的角都是55°，當MP的射影MQ在a'、b'所成鈍角的平分線上時，存在1條直線與a'，b'所成的角都是55°，由此可得本題答案．

解答：解：在空間取一點M，經過點M分別作a∥a'，b∥b'，
設直線a'、b'確定平面α，
當直線MP滿足它的射影MQ在a'、b'所成角的平分線上時，
MP與a'所成的角等于MP與b'所成的角
因為直線a，b所成的角為70°，得a'、b'所成銳角等于70°
所以當MP的射影MQ在a'、b'所成銳角的平分線上時，
MP與a'、b'所成角的范圍是[35°，90°）．
這種情況下，過點M有兩條直線與a'，b'所成的角都是55°
當MP的射影MQ在a'、b'所成鈍角的平分線上時，MP與a'、b'所成角的范圍是[55°，90°）．
這種情況下，過點M有且只有一條直線（即MP?α時）與a'，b'所成的角都是55°
綜上所述，過空間任意一點M可作與a，b所成的角都是55°的直線有3條
故選：C

點評：本題給出兩條直線所成角為70°，求過空間任意一點M可作與a，b所成的角都是55°的直線的條數．著重考查了空間兩條異面直線所成角及其求法等知識，屬于基礎題．