Question

已知是橢圓和雙曲線的公共頂
點。是雙曲線上的動點,是橢圓上的動點（、都異于、），且滿足，其中，設直線、、、的斜率 分別記為, ,則        

Answer 1

-5

解析試題分析：∵A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點，
∴（不妨設）A（-a，0），B（a，0）．
設P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，
∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化為x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都異于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化為（*）
又∵=1，∴，代入（*）化為．
k₃+k₄=，又=1，
∴，
∴k₃+k₄=-=-5．
故答案為-5．
考點：橢圓、雙曲線的標準方程及幾何性質，平面向量的坐標運算，直線的斜率及其坐標運算。
點評：難題，熟練掌握點在曲線上的意義、雙曲線和橢圓的方程、向量的坐標運算、斜率的計算公式是解題的關鍵，同時本題計算能力要求較高。