Question

【題目】已知橢圓C1： =1（a＞b＞0）的離心率為e= ，且過點（1， ）．拋物線C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦點坐標為（0，﹣ ）．
（Ⅰ）求橢圓C1和拋物線C2的方程；
（Ⅱ）若點M是直線l：2x﹣4y+3=0上的動點，過點M作拋物線C2的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB交橢圓C1于P，Q兩點．
（i）求證直線AB過定點，并求出該定點坐標；
（ii）當△OPQ的面積取最大值時，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）由于橢圓C1中， ，
則設其方程為 ，
由于點 在橢圓上，故代入得λ=1．
故橢圓C1的方程為 ．
拋物線C2中，
∵拋物線C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦點坐標為（0，﹣ ），
∴ ，故p=1，
從而橢圓C1的方程為 ，拋物線C2的方程為x2=﹣2y．
（II）（i）證明：設點M（x0 ， y0），且滿足2x0﹣4y0+3=0，
點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則切線MA的斜率為﹣x1 ，
從而MA的方程為y=﹣x1（x﹣x1）+y1 ，
考慮到 ，則切線MA的方程為x1x+y+y1=0，
同理切線MB的方程為x2x+y+y2=0，
由于切線MA，MB同過點M，
從而有 ，
由此點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）在直線x0x+y+y0=0上．
又點M在直線2x﹣4y+3=0上，則2x0﹣4y0+3=0，
故直線AB的方程為（4y0﹣3）x+2y+2y0=0，
即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0，
∴直線AB過定點 ．
（ii）解：設P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），
考慮到直線AB的方程為x0x+y+y0=0，
則聯立方程 ，
消去y并簡化得 ，
從而 ， ， ，
從而 ，
點O到PQ的距離 ，
從而
= ，
當且僅當 ，即 ，
又由于2x0﹣4y0+3=0，
從而消去x0得 ，
即 ，解得 ，
從而 或 ，
∴所求的直線為x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0
【解析】（I）由已知條件，設橢圓方程為 ，把點 代入能求出橢圓C1的方程．拋物線C2中，由 ，能求出拋物線C2的方程．（II）（i）設點M（x0 ， y0），且滿足2x0﹣4y0+3=0，點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由于切線MA，MB同過點M，有 ，由此能證明直線AB過定點 ．（ii）設P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），聯立方程 ，得 ，由此利用根的判別式和韋達定理能求出直線方程．