Question

已知z是復數，z+2i、（1+i）z均為實數（i為虛數單位），且復數（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：先設出z=x+yi（x、y∈R），由題意得x，y的值，然后根據（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限列出不等式組，則實數a的取值范圍可求．

解答： 解：設z=x+yi（x、y∈R），
∴z+2i=x+（y+2）i，由題意得y=-2．
∵（1+i）z=（1+i）（x-2i）=（x+2）（x-2）i，由題意得x=2，
∴z=2-2i．
∴（z+ai）²=（4a-a²）+4（a-2）i，
由于（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，
∴

4a-a2＞0 4(a-2)＞0

，
解得2＜a＜4．
故實數a的取值范圍是（2，4）．

點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．