Question

【題目】已知f（x）=3x+m3﹣x為奇函數．
（1）求函數g（x）=f（x）﹣ 的零點；
（2）若對任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0，

解得：m=﹣1，

∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣ =0，

令t=3x，則t﹣ ﹣ =0，

即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣ ，

∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，

∴函數g（x）的零點是1；

（2）解：∵對任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，

∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）對任意t∈R恒成立，

∵f（x）在R是奇函數也是增函數，

∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）對任意t∈R恒成立，

即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at對任意t∈R恒成立，

即t2+2at+a2﹣a+1≥0對任意t∈R恒成立，

∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，

∴a≤1，實數a的范圍是（﹣∞，1]．

【解析】（1）根據函數的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，從而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函數的零點即可；（2）根據函數的奇偶性和單調性，問題轉化為t2+2at+a2﹣a+1≥0對任意t∈R恒成立，根據二次函數的性質求出a的范圍即可．