Question

【題目】已知橢圓的離心率為為其左、右頂點，為橢圓上除外任意一點，若記直線的斜率分別為

（1）求證:為定值；

（2）若橢圓的長軸長為，過點作兩條互相垂直的直線，，若恰好為與橢圓相交的弦的中點，設為與橢圓相交的弦的中點，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先設，，，得到，.再計算即可.

（2）首先根據長軸長為求出橢圓的標準方程，利用點差法可求出的斜率，因為，可求出的直線方程，再把和橢圓方程聯立，利用韋達定理可求出點的坐標，再用兩點之間距離公式即可求出線段的長.

（1）由題意，，設，

則，.

又在橢圓上，所以，

所以.

所以為定值.

因為，所以，

所以橢圓方程為.

設與橢圓交點為，與橢圓交點為，

則，兩式相減得:

因為，，

所以

所以，即，

因為，所以.

所以直線的方程為:，即.

由，消去得.

所以，所以，.

即與橢圓相交的弦的中點的坐標為，

.

即線段的長為.