Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0且f（2）=-1．試問函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，6]上是否存在最大值與最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：由已知中對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設(shè)x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得到結(jié)論f（x）為奇函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義由x＞0時(shí)，有f（x）＞0，結(jié)合對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值，得到答案．

解答：解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)．…（2分）
任取兩個(gè)自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．…（8分）
因此f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值                  …（10分）
最小值為f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=-3；
最大值為f（-6）=-f（6）=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性與性質(zhì)，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的綜合考查．