Question

【題目】已知數列滿足，，.

（1）若，試問是否存在實數，使得數列是等比數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（2）在（1）的條件下，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）存在，使得數列是首項為1，公比為的等比數列.（2）

【解析】

（1）由題得，由數列是等比數列得到，即得；（2）由題得，令，得，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列，求出數列的通項再求出數列的通項公式.

（1）由，得，

因為，所以

要使數列是等比數列，需使對任意恒成立，

所以，解得.

此時，且首項

所以存在，使得數列是首項為1，公比為的等比數列.

（2）由（1）知，，

所以.

令，得，

即，

所以.

因為，所以，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列，

所以，

即，

所以.

即.