Question

已知橢圓C： (a＞b＞0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，)。
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，以M為圓心，MF為半徑作圓M。問點(diǎn)M滿足什么條件時，圓M與y軸有兩個交點(diǎn)?
(3)設(shè)圓M與y軸交于D、E兩點(diǎn)，求點(diǎn)D、E距離的最大值。   

Answer 1

(1)+=1
(2) -4＜x₀＜
(3)當(dāng)x₀=-時，DE的最大值為

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及結(jié)合圓的知識，求解圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，以及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
解：(1)∵橢圓+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，)，

∴橢圓C的方程為+=1。………       5分
(2)易求得F(1，0)。設(shè)M(x₀，y₀)，則+=1，      
圓M的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，
令x=0，化簡得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①。
將y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜..........10分
(3)設(shè)D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂。由(2)，得
DE= y₂- y₁===，
當(dāng)x₀=-時，DE的最大值為