Question

（I）①證明兩角和的余弦公式C_（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C_（α+β）推導兩角和的正弦公式S_（α+β）：sin（α+β）= sinαcosβ+cosαsinβ；
（Ⅱ）已知。

Answer 1

解：（Ⅰ）①如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與-β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3，角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4。則P1（1 ，0） ，P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））。由P1P3= P2P4及兩點間的距離公式，得 [ cos(α+β)-1]2+sin2（a+β）=[cos（-β）-cosα]2+ [ sin（-β）-sinα]2，展開并整理，得2-2cos（α+β）=2- 2（cosαcosβ- sinαsinβ） ∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； ②由①易得                                    =sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

（Ⅱ） 。