Question

若點(diǎn)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面積分別為S₁，S₂，S₃，則S₁²+S₂²+S₃²=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出S₁²+S₂²+S₃²，利用點(diǎn)F是△ABC的重心，即可求得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），則
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
∴S₁=

1

2

|y₁|，S₂=

1

2

|y₂|，S₃=

1

2

|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（y₁²+y₂²+y₃²）=x₁+x₂+x₃，
∵點(diǎn)F是△ABC的重心，
∴x₁+x₂+x₃=3，
∴S₁²+S₂²+S₃²=3，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查三角形重心的性質(zhì)，屬于中檔題．