Question

設m是實數，記M={m|m>1},f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+) 
(1)證明： 當m∈M時，f(x)對所有實數都有意義；反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則m∈M。 
(2)當m∈M時，求函數f(x)的最小值。
(3)求證： 對每個m∈M,函數f(x)的最小值都不小于1。

Answer 1

(1) 證明略(2) 當x=m時， f(2m)=log₃(m+)為最小值。
(3)證明略

先將f(x)變形： f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,
當m∈M時，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，
故f(x)的定義域為R。
反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則只須x²－4mx+4m²+m+>0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+)＜0,解得m>1,故m∈M。
(2)解析： 設u=x²－4mx+4m²+m+,
∵y=log₃u是增函數，∴當u最小時，f(x)最小。
而u=(x－2m)²+m+,
顯然，當x=m時，u取最小值為m+,
此時f(2m)=log₃(m+)為最小值。
(3)證明： 當m∈M時，m+=(m－1)+ +1≥3,
當且僅當m=2時等號成立。
∴log₃(m+)≥log₃3=1。