Question

一圓形紙片的半徑為10 cm，圓心為O，F為圓內一定點，OF＝6 cm，M為圓周上任意一點，把圓紙片折疊，使M與F重合，然后抹平紙片，這樣就得到一條折痕CD，設CD與OM交于P點，如圖

(1)求點P的軌跡方程；

(2)求證：直線CD為點P軌跡的切線．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意知點M、F關于直線CD對稱，可聯想橢圓的定義求點P的軌跡；(2)可用反證法來證明．) 　　解：(1)由題意知點M、F關于直線CD對稱，連結PF，則PF＝NF，故PF＋PO＝PO＋PM＝10＞6＝OF． 　　故點P的軌跡是以O、F為焦點、長軸長為10的橢圓． 　　以OF所在的直線為x軸，線段OF的中垂線為y軸建立 　　平面直角坐標系．易求得點P的方程為：　　8分 　　(2)假設CD不是點P軌跡的切線．則直線CD與橢圓一定相交． 　　設Q是CD上異于P的另一個交點， 　　則QF＋QO＝QM＋QO＞OM，這與點Q在橢圓上矛盾，假設不成立． 　　故直線CD與該橢圓切于點P　　14分