Question

已知點P是橢圓

x2

16

+

y2

8

=1（x≠0，y≠0）上的動點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，O是坐標原點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上一點，且

F1M

•

MP

=0，則|

OM

|的取值范圍是

(0，2

2

)

．

Answer 1

分析：延長PF₂、F₁M，交與N點，連接OM，利用等腰三角形的性質、三角形中位線定理和橢圓的定義，證出|OM|=

1

2

||PF₁|-|PF₂||．再利用圓錐曲線的統一定義，化簡得||PF₁|-|PF₂||=

2

|x₀|，利用橢圓上點橫坐標的范圍結合已知數據即可算出|

OM

|的取值范圍．

解答：解：如圖，延長PF₂、F₁M，交與N點，連接OM，
∵PM是∠F₁PF₂平分線，且

F1M

•

MP

=0可得F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
∵O為F₁F₂中點，M為F₁N中點
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
設P點坐標為（x₀，y₀）
∵在橢圓

x2

16

+

y2

8

=1中，離心率e=

c

a

=

2

2

由圓錐曲線的統一定義，得|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=

2

|x₀|
∵P點在橢圓

x2

16

+

y2

8

=1上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵x≠0，y≠0，可得|x₀|∈（0，4），∴|OM|∈(0，2

2

)
故答案為：(0，2

2

)

點評：本題求兩點間的距離的取值范圍，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的性質、三角形中位線定理和橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．