Question

已知點P是橢圓

x2

1+a2

+

y2

a2

=1與雙曲線

x2

1-a2

-

y2

a2

=1的交點，F1，F2是橢圓焦點，則cos∠F₁PF₂=

0

．

Answer 1

分析：由題意可得，橢圓與雙曲線的焦點相同且F₁F₂=2，結合由橢圓的 定義可知，PF1+PF2=2

1+a2

，雙曲線的定義可知，|PF1-PF2|=2

1-a2

，從而可得PF12+PF22F2F12可求

解答：解：由題意可得，橢圓與雙曲線的焦點相同且F₁F₂=2
由橢圓的 定義可知，PF1+PF2=2

1+a2

，
由雙曲線的定義可知，|PF1-PF2|=2

1-a2

上式兩邊同時平方相加可得2（PF12+PF22）=8
即PF12+PF22=4
∵F2F12=4
∴PF12+PF22F2F12
∴cos∠F₁PF₂=0
故答案為：0

點評：本題主要考查了橢圓與雙曲線的定義的簡單應用，解題的關鍵是對所給的式子進行靈活的變形