Question

有一組數(shù)據(jù)：x₁，x₂，…，x_n（x₁＜x₂＜…＜x_n）的算術(shù)平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9；若去掉其中最小的一個，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11．   
（1）求出第一個數(shù)x₁關(guān)于n的表達式及第n個數(shù)x_n關(guān)于n的表達式．
（2）若x₁，x₂，…，x_n都是正整數(shù)，試求第n個數(shù)x_n的最大值，并舉出滿足題目要求且x_n取到最大值的一組數(shù)據(jù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的三個關(guān)于平均數(shù)的條件，寫出關(guān)于數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，把三個式子之間相加相減，得到要求的結(jié)果．
（2）由于x₁是正整數(shù)，故 x₁=11-n≥1，推出1≤n≤10，故x_n=n+9≤19，得到當n=10時，x₁=1，x₁₀=19，x₂+x₃+…+x₉=80，寫出結(jié)果．

解答：解：（1）依條件得：

x1+x2+…+xn=10n         (1) x1+x2+…+xn-1=9(n-1)  (2) x2+x3+…+xn=11(n-1)     (3)

由（1）-（2）得：x_n=n+9，
又由（1）-（3）
得x₁=11-n
（2）由于x₁是正整數(shù)，故 x₁=11-n≥1，
⇒1≤n≤10，故x_n=n+9≤19
當n=10時，x₁=1，x₁₀=19，x₂+x₃+…+x₉=80，
此時，x₂=6，x₃=7，x₄=8，x₅=9，x₆=11，x₇=12，x₈=13，x₉=14．

點評：本題考查一組數(shù)據(jù)的特點，從平均數(shù)入手來解題，本題解題的關(guān)鍵是判斷出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，這里可以看做是一個數(shù)列的應用，本題是一個中檔題目．