Question

如圖，已知橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點．

（1）若點的橫坐標為，求直線的斜率；
（2）記△的面積為，△（為原點）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由．

Answer 1

（1）（2）不存在直線，使得

試題分析：（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設其方程為．
將其代入，整理得 ．
設，，所以 ．     3分
故點的橫坐標為．依題意，得，
解得 ．          5分
（Ⅱ）解：假設存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直．

由（Ⅰ）可得 ．               6分
因為 ，所以 ，
解得 ， 即 ．        8分
因為 △∽△，所以 ．
所以 ，     10分
整理得 ．
因為此方程無解，所以不存在直線，使得 ．        12分
點評：直線與橢圓相交時常聯立方程借助于方程根與系數的關系整理化簡，此類題目計算量較大要求學生具有較高的數據處理能力