Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，，，，．

(1)求證：平面PCA⊥平面PCD；

(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點，若直線BE與底面ABCD所成的角為45°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出CD⊥AC，PA⊥CD，從而CD⊥平面PCA，由此能證明平面PCA⊥平面PCD．

（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．

解：(Ⅰ)在平行四邊形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得

，

∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，

又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，

又，∴CD⊥平面PCA.

又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.

(Ⅱ)如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.

設(shè)，，

則

∴x=0，，，即點E的坐標(biāo)為

∴

又平面ABCD的一個法向量為

∴sin45°

解得

∴點E的坐標(biāo)為，∴，，

設(shè)平面EAB的法向量為

由得

令z=1，得平面EAB的一個法向量為

∴.

又二面角E-AB-D的平面角為銳角，

所以，二面角E-AB-D的余弦值為