Question

【題目】如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為菱形，且， ， ， 為中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形．從而.進(jìn)而平面，由此能證明平面平面.，從而平面.
（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié).以為原點(diǎn)， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的平面角的正弦值.．

試題解析：

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>分別為中點(diǎn)，所以.

又平面，且平面，所以平面，因?yàn)?/span>， ，所以， .所以四邊形為平行四邊形.

所以.又平面且平面，

所以平面，又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：取中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面， .

因?yàn)?/span>， ，所以為等邊三角形.

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>兩兩垂直，設(shè)，

以為原點(diǎn)， 為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

由題意得， ， ， ， ， ， .

， ， ，

設(shè)平面的法向量為

則，即令，則， 所以.

設(shè)平面的法向量為

則，即令，則， 所以.

∴∴二面角平面角的正弦值為