Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）．

（I）求的解析式及單調遞減區間；

（II）若存在 ，使函數成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（I）首先求得函數定義域與，然后利用導數的幾何意義求得的值，從而根據求得函數的單調遞減區間；（II）首先將問題轉化為，然后求得，并求得其單調區間，從而求得其最小值，進而求得的范圍．

（I）由及得函數的定義域為

由題意 解得

故， 此時，

由得

所以函數的單調遞減區間是

（II）因為，

由已知，若存在使函數成立，

則只需滿足當時，即可．

又，

則，

若，則在上恒成立，

所以在上單調遞增，

，

∴，又∵，∴．

若，則在上單調遞減，在上單調遞增，

所以 在 上的最小值為，

又 綜上所述， 的取值范圍