Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，平面BDEF⊥平面ABCD，四邊形BDEF是正方形，點M在線段EF上， =λ ．

（1）當λ= ，求證：BM∥平面ACE；
（2）如二面角A﹣BM﹣C的平面角的余弦值為﹣ ，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ = ，∴M是EF的中點，

設AC∩BD=O，連結OE，則BM∥OE，

又∵BM平面ACE，OE平面ACE，

∴BM∥平面ACE．

（2）解：以O為原點，OB，OC分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，

A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），C（0， ，0），M（2λ﹣1，0，2），

=（1， ，0）， =（2λ﹣2，0，2）， =（﹣1， ，0），

設平面ABM的法向量 =（x，y，z），則 ， =0，

∴ ，取x= ，得 =（ ），

設平面BCM的法向量 =（a，b，c），則 ，

∴ ，取x= ，得 =（ ），

∵二面角A﹣BM﹣C的平面角的余弦值為﹣ ，

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得 ，或 （舍）．

故實數λ的值為 ．

【解析】（1）M是EF的中點，設AC∩BD=O，連結OE，則BM∥OE，由此能證明BM∥平面ACE．（2）以O為原點，OB，OC分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出實數λ的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．