如圖，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四邊形
是直角梯形，
∥ＡＥ，
，
,
分別為
的中點．
（1）求異面直線
與
所成角的大小；
（2）求直線
和平面
所成角的正弦值．
（1）
，（2）
解析試題分析：（1）求空間角，一般利用空間向量解決.首先要建立恰當的空間直角坐標系，由平面平面及
，運用面面垂直性質定理，可得
，這樣確定豎坐標.橫坐標與縱坐標可根據右手系建立.因為異面直線與所成角
等于向量
與
夾角或其補角，而異面直線與所成角范圍為
，所以
，（2） 直線和平面所成角與向量
與平面法向量
夾角互余或相差
，而直線和平面所成角范圍為，所以
.
試題解析：
∵，又∵面面
，面
面
，
，∴
，∵BD∥AE，∴， 2分
如圖所示，以C為原點，分別以CA，CB為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，∵
，∴設各點坐標為
，
，
，
，
，
則
，
，
，
，
，
.
（1）
，
則與所成角為. 5分
（2）設平面ODM的法向量
，則由
，且
可得
令
，則
，
，∴
，設直線CD和平面ODM所成角為
，則
，
∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為． 10分
考點：利用空間向量求異面直線所成角及直線與平面所成角.
一線名師提優試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:
(1)
·
.
(2)EG的長.
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．
(1)求證：B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝
PD.
(1)求證：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)若二面角Q-BP-C的余弦值為－
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示,四棱錐S
ABCD的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的
倍,P為側棱SD上的點.
(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
四棱錐
中，底面
為平行四邊形，側面
面，已知
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）在SB上選取點P，使SD//平面PAC ，并證明；
（Ⅲ）求直線
與面
所成角的正弦值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在棱長為1正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點
（1）求直線AM和CN所成角的余弦值；
（2）若P為B1C1的中點，求直線CN與平面MNP所成角的余弦值；
（3）P為B1C1上一點，且
，當 B1D⊥面PMN時，求
的值.
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中，底面
是邊長為
的菱形，
,
底面
,
為
的中點，
為
的中點.
平面
；
與
所成角的大小； 
的所有棱長都為4,D為的
中點.
⊥平面
；
余弦值.