Question

如圖所示，點A（1，0）．點R在y軸上運動，T在x軸上，N為動點，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0，
（1）設動點N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）過點B（-2，0）的直線l與曲線C交于點P、Q，若在曲線C上存在點M，使得△MPQ為以PQ為斜邊的直角三角形，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設N（x，y），由題得R是TN的中點所以T(-x，0)，R(0，

y

2

)，代入

RT

•

RA

=0?(-X，-

y

2

)•(1，-

y

2

)=0得點N的軌跡曲線C的方程y²=4x
（2）直線l與曲線C交于點P、Q所以直線l的斜率不等于0，設其為x=my-2，代入曲線C的方程y²=4x，△=16m²-32＞0，即m²＞2，因為△MOQ是以PQ為斜邊的直角三角形，所以MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即(x1-

t2

4

)(x2-

t2

4

)+(y1-t)(y2-t)=0，化簡可得8+4mt+t²+16=0關于t的方程t²+4mt+24=0有實根，∴△=16m²-96≥0，又k=

1

m

所以-

6

6

≤k＜0或0＜k≤

6

6

．

解答：解：（1）設N（x，y），由

RN

+

RT

=0知：R是TN的中點，
則T(-x，0)，R(0，

y

2

)，

RT

•

RA

=0?(-X，-

y

2

)•(1，-

y

2

)=0
則y²=4x就是點N的軌跡曲線C的方程：
（2）設直線l的方程為x=my-2，代入曲線C的方程y²=4x，
得y²-4my+8=0，此方程有兩個不等實根，△=16m²-32＞0，即m²＞2
M在曲線C上，P、Q是直線l與曲線C的交點，設M(

t2

4

，t)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y₁+y₂=4m，y₁y=8，∵△MOQ是以PQ為斜邊的直角三角形，
∴MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即(x1-

t2

4

)(x2-

t2

4

)+(y1-t)(y2-t)=0
且x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
∴

1

16

(y12-t2)(y22-t2)+(y1-t)=0，
顯然y₁-t≠0，y₂-t≠0，
∴(y1+t)(y2+t)+16=0，y1•y2+(y1+y2)t+t2+16=0，∴8+4mt+t2+16=0t為點M的坐標，
∴關于t的方程t²+4mt+24=0有實根，∴△=16m²-96≥0．
∴m²≥6，直線l的斜率k=

1

m

，∴k≠0且k2≤

1

6

，∴-

6

6

≤k＜0或0＜k≤

6

6

點評：本題考查了利用相關點代入法求曲線的方程重點考查三角形的形狀的構成問題．解決此類問題的關鍵是結合曲線的形狀和性質靈活表達垂直關系．