Question

由函數確定數列，.若函數能確定數列，，則稱數列是數列的“反數列”.
（1）若函數確定數列的反數列為，求；
（2）對（1）中的，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設（為正整數），若數列的反數列為，與的公共項組成的數列為（公共項為正整數），求數列的前項和.

Answer 1

（1）；（2）；（3）　　　

解析試題分析：（1）本題實質是求函數的反函數；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左邊的最小值，所以我們一般想辦法求左邊這個和，然而由（1）知，這個和求不出，那么我們只能從另一角度去思考，看的單調性，這里只要作差就可得出是遞增數列，所以的最小值是，問題解決；（3）看起來很復雜，實質上由于和取值只能是0和1，因此我們按的奇偶性分類討論，問題就簡化了，例如當為奇數時，，則，就可求出，從而求出的前項和了．
試題解析：（1），則；4分
（2）不等式化為：，5分
設，因為，
所以單調遞增，                                    7分
則.因此，即.因為，
所以，得.            10分
（3）當為奇數時，，.       11分
由，則，
即，因此，                      13分
所以                                         14分
當為偶數時，，.                   15分
由得，即，因此，  17分
所以                                   18分
考點：（1）反函數；（2）數列的單調性；（3）分類討論，等差數列與等比數列的前項和．