Question

【題目】已知函數.

（1）求的極值；

（2）若，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）極大值為；的極小值為；（2）見解析

【解析】

（1）求導求出，求出單調區間，進而求出極值；

（2）由（1），結合極值點考慮與的大小關系，在為減函數，只需比較與大小關系，而，轉化為比較與比較大小，構造函數，，通過求導求出的單調性，即可得出的不等量關系，同理構造函數，得出的不等量關系，即可證明結論.

（1）解：因為，

所以，

所以當時，；

當時，，

則的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.

故的極大值為；

的極小值為.

（2）證明：由（1）知.

設函數，，

，

則在上恒成立，即在上單調遞增，

故，即在上恒成立.

因為，所以.

因為，且在上單調遞減，

所以，即.①

設函數，，

，

則在上恒成立，即在上單調遞增，

故，即在上恒成立.

因為，所以.

因為，，且在上單調遞增，

所以，即.②

結合①②，可得.