Question

（2011•上海）若點O和點F分別為橢圓

x2

2

+y²=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則|OP|²+|PF|²的最小值為

2

．

Answer 1

分析：先求出左焦點坐標F，設P（x，y），根據P（x，y）在橢圓上可得到x、y的關系式，表示出|OP|²+|PF|²，再將x、y的關系式代入組成二次函數進而可確定答案．

解答：解：由題意，F（-1，0），設點P（x，y），則有

x2

2

+y²=1，解得y²=1-

x2

2

，
因為|OP|²+|PF|²=x²+y²+（x+1）²+y²=x²+（x+1）²+2-x²=（x+1）²+2，
此二次函數對應的拋物線的對稱軸為x=-1，
|OP|²+|PF|²的最小值為2．
故答案為：2．

點評：本題考查橢圓的方程、幾何性質、兩點間的距離公式、二次函數的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力．